\documentclass[12pt, a4paper]{article}
\usepackage{geometry}
\geometry{
	a4paper,
	left=12.7 mm,
	right=12.7 mm,
	top=12.7 mm,
	bottom=12.7 mm,
}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{physics}
\graphicspath{ {./} }
\usepackage{ctex}

\newcommand{\bvec}[1]{\mathbf{#1}}
\newcommand{\formula}[1]{\text{式} \ref{#1} }

\begin{document}
	\section{4-动量}
	在狭义相对论中，自由粒子的4-动量写作
	\begin{equation}
		P = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} m_0
		\left (
		\begin{aligned}
			& c \\
			& v_x\\
			& v_y\\
			& v_z\\
		\end{aligned}
	\right )
	\end{equation}
	其中$m_0$是静止质量，$v$是“平常”速度。你可能已经注意到，它的“第0分量” 
	$$P_0 = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} m_0 c = E/c$$
	相当于自由粒子的相对论能量。
	此外，他的“模长”（还是由于度规，此处不是平方和的相加）
	$$
	\abs{P} = \sqrt{P_0^2 -  P_1^2 -P_2^2 - P_3^2} = m_0 c
	$$
	在任何惯性参考系下都是相同的。
	
	使用4-动量有很多好处，它\textsl{不仅逼格高}，而且是洛伦兹协变的（可以直接使用洛伦兹变换以得到另一个参考系下，4-动量的数值）。
	更重要的是，狭义相对论中4-动量是守恒的，也就是说，如果没有外力作用，那么系统中粒子的4-动量之和始终不变。
	某种意义上，4-动量守恒同时包括了能量守恒与动量守恒。
	
	\section{四维弹球}
	以下我们假定$c=1$。
	
	\begin{figure}[h]
		\centering
		\includegraphics[width=0.6 \linewidth]{Momentum}
		\caption{示意图}
		\label{fig:momentum}
	\end{figure}
	
	
	我们举一个简单的例子说明4-动量守恒：
	假设两个粒子的静止质量均为 $m_0 = 1$；
	第一个粒子以$0.9$的速度 向右运动，而第二个粒子静止不动；
	相撞后，他们合并为一个新粒子，并一同向右运动。
	
	\subsection{经典情况}
	根据经典动量的定义，$\bvec p = m_0 \bvec v$，
	初始时，第一个粒子的动量
	$$
	\bvec p^{(1)}  = (0.9,0,0)^T
	$$
	第二个粒子的动量
	$$
	\bvec p^{(2)}  = (0,0,0)^T
	$$
	因此，根据动量守恒，碰撞后形成的粒子的动量
	$$
	\bvec p^{(3)} =\bvec p^{(1)} +\bvec p^{(2)} = (0.9, 0,0)^T
	$$
	其质量
	$$
	m_0^{(3)} = m_0^{(1)} + m_0^{(2)} = 2
	$$
	因此，其速度
	$$
	v^{(3)} = 0.45
	$$
	
	\subsection{相对论情况}
	根据相对论动量的公式，
	初始时，第一个粒子的相对论动量
	$$
	P^{(1)} = (2.29, 2.06,0,0)^T
	$$
	第二个粒子的
	$$
	P^{(2)} = (1, 0,0,0)^T
	$$
	因此，根据相对论动量守恒，碰撞后形成的粒子的动量
	$$
	P^{(3)} =P^{(1)} +P^{(2)} = (3.29, 2.06,0,0)^T
	$$
	由此，解得速度 \footnote{注意到，此时$v^{(3)} = P^{(3)}_1 / P^{(3)}_0$}
	$$
	v^{(3)} = 0.62
	$$
	以及静止质量
	$$
	m_0^{(3)} = 2.58 > m_0^{(1)} + m_0^{(2)}=2
	$$
	很有意思的是，这个比原先两个球的静止质量都要大。
	
\end{document}
